미분방정식 예제 풀이

이 예제에서는 x 부분만 통합하는 것처럼 보이지만(오른쪽) 실제로 y(왼쪽)와 관련하여 통합되었습니다. DEs는 다음과 같습니다 – 한 번에 하나씩 두 개의 다른 변수에 대해 통합해야합니다. 선형 첫 번째 차분 방정식을 해결하기 위해 우리는 아래와 같은 형태의 미분 방정식으로 시작해야합니다. 미분 방정식이 이 양식에 없는 경우 사용할 프로세스가 작동하지 않습니다. 연습: 다음과 같은 미분 방정식을 해결합니다. a) 2y ` = 6x b) y ` cos x = sin (2x) c) y ` e x = e 3x 솔루션 a) y = (3/2) x 2 + C b) y = -2 cos x + C c) y =(1/2) e 2x + C 다시 방향 필드 섹션에서 우리가 처음 사용된 미분 방정식을 도출한 방향 필드 섹션에서 마지막 예제에서는 방향 필드를 사용하여 몇 가지 솔루션을 스케치하는 데 도움을 주어 왔습니다. 우리가 그들을 올바른 있어 있는지 보자. 몇 가지 솔루션을 스케치하려면 솔루션을 얻기 위해 (c)의 다른 값을 선택하는 것입니다. 이들 중 몇 가지는 아래 그래프에 나와 있습니다. 이제 미분 방정식에 통합 계수에 곱해지릅니다(다시 다시 작성된 방정식이 아닌 원래 의 미분 방정식인지 확인).

예 2: 미분 방정식에 대한 일반적인 해법을 찾아다. 2 y ` = sin (2x) 예제 2에 대한 솔루션 : 양식 y ` = f (x)의 미분 방정식을 작성합니다. y ` = (1/2) 죄 (2x) 양면 y `dx = (1/2) 죄 (2x) dx 하자 U = 2 x 그래서 du = 2 dx, 오른쪽은 y = (1/4) sin(u) du가 제공합니다. y = (-1/4) cos(u) = (-1/4) cos (2x) 1차 선형 비균질성 ODI(일반 미분 방정식)는 분리할 수 없습니다. 통합 팩터 메서드라고 하는 다음 접근 방식으로 해결할 수 있습니다. 일반적인 형식의 1차 선형 ODI를 고려하십시오: 이 미분 방정식은 명확하게 분리할 수 있으므로 적절한 형태로 배치한 다음 양쪽을 통합해 보겠습니다. 우리는 단순히 양측의 자연 로그를 복용하여쉽게이 미분 방정식에 명시 적 해결책을 찾을 수 있습니다. 이것은 미분 방정식을 해결하는 방법의 전체 목록은 아니지만 시작해야합니다 :이 마지막 예에서 알 수 있듯이 명시적 솔루션을 항상 찾을 수있는 것은 아니므로 이러한 경우를 경계하십시오. 이러한 문제로 인해 발생하는 다른 문제에 대한 세부 정보를 잃지 않고 프로세스를 볼 수 있도록 매우 간단한 예제로 시작해 보겠습니다.

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