절대수렴 예제

$sum |a_n|$가 수렴되면 $sum a_n$이 절대적으로 수렴한다고 말합니다. $sum a_n$이 절대적으로 수렴한다고 말하는 것은 용어가 이미 너무 작아서 수렴이 그 것만으로도 보장되기 때문에 실제로 발생하는 모든 취소가 실제로 필요하지 않다고 말하는 것입니다. $sum a_n$가 수렴되지만 $합계 =a_n|$가 수렴하지 않는 경우, 우리는 $sum a_n$가 조건부로 수렴한다고 말합니다. 예를 들어 $dssum_{n=1}^{{n-1} {1over n^2}$는 절대적으로 수렴되는 반면, $dssum_{n=1}<{{n-1} {1over n}는 조건부로 수렴합니다. 위의 예제에서, 우리는 시리즈 첫 번째 결론, 절대 수렴의 정의를 통해 다시 가자. 여기서 우리가 할 일은 절대 수렴을 다시 한 번 확인하는 것입니다. 즉, 다음 시리즈의 수렴을 확인해야 합니다. 이 예제에서 보여 주는 것은 의 수렴과 수렴이 동일하지 않다는 것입니다. 그래서, 우리는 여전히 시리즈가 수렴하는 경우 무슨 일이 있었는지 궁금할 수 있습니다. 이 경우 계열이 수렴됩니다. 예제 11.5.2에서 $dssum_{n=2}^infty {\sin n/\$를 초과하여 n^2}$가 수렴되므로 지정된 계열이 절대적으로 수렴되는 것을 보았습니다. $sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n}$를 고려하십시오.

나중에 이 시리즈가 수렴하는 교대 시리즈 테스트(이 시리즈가 절대 및 조건부 수렴 페이지에서 수렴한다는 것을 간략하게 언급했습니다)를 살펴보겠습니다. 이제 우리는 절대 및 조건부 수렴을 결정하기 위해 우리의 벨트 아래에 도구를 가지고 우리는이것에 대해 몇 가지 더 많은 의견을 만들 수 있습니다. 이 경우 절대적으로 수렴되는 경우 무료로 수렴을 확인할 필요가 없으므로 먼저 절대 수렴을 확인해 보겠습니다. 처음 시리즈 컨버전스에 대해 이야기했을 때 우리는 더 강력한 유형의 수렴에 대해 간략하게 언급했지만, 그와 관련된 문제를 해결하는 데 사용할 수 있는 도구가 없었기 때문에 아무 것도 하지 않았습니다. 이제 이러한 도구 중 일부가 있으므로 이제 절대 수렴에 대해 자세히 이야기할 차례입니다. 앞서 본 주제를 다시 한 번 통해 이 섹션을 종료해 보겠습니다. 처음 시리즈의 수렴에 대해 자세히 설명했을 때, 일부 시리즈는 용어를 재배열하면 다른 합계를 가질 수 있기 때문에 시리즈를 무한한 합계로 생각할 수 없다는 점에 주목했습니다. 사실, 우리는 두 개의 서로 다른 값을 준 교대 고조파 시리즈의 두 가지 재배열을했다. 우리는 다음과 같은 사실로 그 섹션을 닫았다, 우리는 지금 일반 시리즈의 절대 조건부 수렴에 관한 몇 가지 예를 살펴 보겠습니다. 절대 및 조건부 수렴 페이지에서 $sum_{n=1}{{{infty} a_n$가 수렴 시리즈인 경우,다음 $sum_{n=1}^{{n=1=1}===에서 ${{n=1}===a_n=1=이 절대적으로 수렴되는 경우 $sum_{n=1}{{{infty} mid a_n mid$가 분기되면 원래 계열이 조건부 수렴이라고 말합니다.

이 사실은 절대 수렴이 “더 강한” 유형의 수렴인 방법 중 하나입니다.

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